Uma Prova Geométrica da versão Projetiva do Teorema de Steiner (pdf)
Resumo:
O objetivo deste trabalho é apresentar uma nova demonstração do Teorema de Steiner completamente baseada em argumentos de geometria projetiva. Segundo este teorema, a envoltória das retas de Simson-Wallace é uma hipociclóide tricúspide que tornou-se conhecida por Deltóide de Steiner. Nós também apresentamos um resumo da História da Geometria Projetiva.
A Geometric Proof of the Projective version of Steiner's Theorem (pdf)
Abstract:
Our goal is to give a new proof to Steiner Theorem on Projective plane com- pletelly based on projective geometric arguments. According to this theorem the envelope of Simson-Wallace lines is a tricuspids hypocycloid, which became known as Steiner’s Deltoid. We also present a survey on Projective Geometry History.
Em 1856 Jacob Steiner publicou um artigo provando que a envoltória das retas Simpson-Wallace de um triângulo qualquer era uma curva especial de quarto grau chamada hipociclóide tricúspide e hoje é também conhecida como deltóide de Steiner.
Teorema da reta Simpson-Wallace:
Dado um triângulo ABC, o lugar geométrico dos pontos X do plano definido por ABC tal que as projeções ortogonais P € AB, Q € BC, R € AC de X nos três lados (prolongados ou não) do triângulo são colineares é a circunferência K que circunscreve o triângulo ABC. Essa reta PR é chamada de reta Simpson-Wallace de X em relação ao triângulo ABC.
Teorema de Steiner:
Seja ABC um triângulo qualquer. Então a envoltória das retas Simpson-Wallace do triângulo ABC é uma deltóide (hipociclóide tricúspide) tangente ao circulo de Feuerbach F.
Teorema de Steiner no plano Projetivo:
Dadas, no plano projetivo, uma cônica K e um triângulo ABC com seus vértices em K traçamos de um ponto X as perpendiculares projetivas aos lados AB, BC, CA. Então os pés dessas perpendiculares P € AB, Q € BC, R € AC estão numa reta - a reta Simson-Wallace de X - se, e somente se, X está em K. A envoltória das retas SW de todos os pontos de K em relação ao triângulo ABC é uma curva projetiva A equivalente à deltóide, e tangente à cônica projetiva F equivalente ao círculo de Feuerbach.
